Frações Algebricas

Frações algébricas é o quociente de divisão de duas expressões algébricas

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE EXPRESSÕES ALGEBRICAS:

Vamos determinar o m.m.c dos números 60 e 70 pelo processo de decomposição em fatores primos.

60, 72 | 2

30, 36 | 2

15, 18 | 2

15 ,09 | 3

05, 03 | 3

05, 01 | 5

01, 01

Logo : 2.2.2.3.3.5= 360

Para determinar o m.m.c. das expressões algébricas, procedemos do mesmo modo.

Exemplos:

1) Calcular o m.m.c. das expressões: 4xy³ e 10x²yz

Solução:
4xy³ = 2 .2.x. y.y
10x²yz = 2.5.x.x.y.z
2.2.5.x.x.y.y.y.z = 20x²y³z

2) Calcular o m.m.c. das expressões : x² - 25 e x² + 10x + 25

Solução:

x² - 25 = (x + 5) (x – 5)
x² + 10x + 25 = (x + 5) (x + 5)
m.m.c.= (x+5)² . (x-5)

EXERCÍCIOS

1) Determine o m.m.c dos monômios:
a) 4x² e 2x = (R: 4x²)

b) 8x e 4x = (R:8x)

c) x² e x³ = (R: x³)

d) 2x² e x = (R: 2x²)

e) 5x² e 3x = (R: 15x²)

f) 6x² e 10xy = ( R: 30x²y)

g) 5x e 15x²b = (R: 15x²b)

h) 2x, 5y e 4z = (R: 20xy²)

2) Determine o m.m.c das expressões:

a) ( x – 2) e (x² - 4)

b) ( x + 3) e ( x² -9)

c) (x + 7 ) e( x² -49)

d) ( 5x – 5) e ( x -1)

e) (x + 1) e ( x² + 2x + 1)

f) (x² - 9 ) e (x² + 6x + 9)


OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ALGÉBRICAS

1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 

Para adicionar ou subtrair frações algébricas utilizamos as mesmas regras das frações numéricas

a) Frações que apresentam o mesmo denominador.

Somamos ou subtraímos os numerados e conservamos o denominador comum

Exemplo

1)     5x/m + 3x/m = (5x + 3x)/m = 8x/m

2) 7x/6y – 3x/6y = (7x – 3x)/6y = 4x/6y = 2x/3y

EXERCICIOS

1) Efetue as operações indicadas:

a) (5x/7y) + (3x/7y) = (R: 8x/7y)

b) (3x/7y) – (x/7y) = (R: 2x/7y)

c) (5/9x) – (1/9x) = (R: 4/9x)

d) (4x/7y) – (x/7y) = (R: 3x/7y)

e) (2x/y) – (8x/y) = (R: -6x/y)

f) (5x/3m)+ (2x-9/3m) = (R: (7x -9) /3m)

g) (5x/8m) – (x-4 /8m)

h) (a / y – x) + ( a / y – x)

i) (x – 5/ x² - 1) + ( 5 / x² -1)

j) (3x² x / 2y + 1) – ( x² - 2x / 2y + 1)

2) Efetue as operações indicadas:

a) (8x /a + x/a + 2x/a)

b) 7y/a – 2y/a + 4y/a

c) (2x – 3y / 3m) + (3x + 4y / 3m)

d) ( x + y /x – 6) – ( 5x – 2y / x – 6) = R: ( -4x + 3y / x – 6)

Frações que apresentam denominadores diferentes. 

Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador comum e em seguida procedemos como no caso anterior

Exemplo 1

Calcular: (3y / 2x) + (5y / 4x)

Temos m.m.c (2x,4x) = 4x(3y / 2x) + (5y / 4x) =

( 6y/4x) +(5y/4x) = 
(6y + 5y) / 4x = 
11y/4x

Exemplo 2

Calcular: (5/2x )– (3/4x²)

Temos m.m.c. : (2x,4x²) = 4x²

Logo: 5/2x – 3/4x² =
10x/4x² - 3/4x² = 
(10x -3)/4x²

EXERCÍCIOS

1) Efetue as operações indicadas:

a) 10/x – 25/3x =

b) 3/2xy + 1/xy =

c) 5y/3x + 3y/2x =

d) 7/x² + 5/x =

e) 3/2x² - 8/x =

f) 10/x – 25/3x =

2) Efetue as operações indicadas

a) 7/ 10x – 3/5x=

b) 1/x + 1/y =

c) 5/yx – x/3y =

d) (a + 3)/4m + 1/2m =

e) (6x + 13)/2y + (x + 3) 3y =

f) (3x – 1) /10y + (5 – 2x) / 15y =

Exemplo 3

3/(x-2) + 5/(x + 2)

 Temos m.m.c. = (x – 2) ( x + 2)

3/(x-2) + 5/(x + 2) = 

3(x +2) / (x – 2) ( x + 2) + 5(x - 2) / (x – 2) ( x + 2) =

3x + 6 + 5x -10 /(x – 2) ( x + 2) = 

8x -4/ (x – 2) ( x + 2)

EXERCÍCIOS

1) Efetue as operações indicadas

a) 4 / (x + 1) + 2 /(x – 1) =

b) 5x / ( x + 2) - 3x / ( x – 2)

c) 3/x – 2/(x + 1) =

d) 4/x + 5/(x -2) =

e) 2/(x+2) – 1/(x -1) =

f) 1/(x -3) – 6/ (x² - 9)=

MULTIPLICAÇÃO

Para multiplicar frações algébricas procedemos do seguinte modo:

-multiplicamos os numeradores entre si

- multiplicamos os denominadores entres si

Exemplos
1) a/b . x/y = ax/by

2) 3a / x . 7/5y = 21a /5xy

Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos cancelá-los antes de efetuar a multiplicação.

Exemplos

1) a/3x . 2x/5 = 2a /15

2) (3x – 2) / 5 . 7a / (3x -2) = 7a / 5

EXERCICIOS

1) Efetue as multiplicações

a) 3 a / x . y/2 =

b) 2x/5 . 4a/x =

c) 3/a .5y/y =

d) 2 a/x . 5b / y =


DIVISÃO

Multiplicamos a primeira fração pela inversa da segunda.

Exemplos:

Calcular o quociente:

1) 2x/a : 3m/5c = 2x/a . 5c/3m = 10cx/3am

2) 5x²/ 3a : 7b/2x = 5x²/3a . 2x/7b = 10x³/21ab

3) a/ (x+y) : m/(x + y) = a/ (x+y) . (x +y)/m = a/m

EXERCICIOS

1) Calcule os quocientes

a) 2a/ b : x/y =

b) 3x/4 : 5y/7 =

c) x/2 : ax/8 =

d) 5x/a : a/ xy =

e) 3x/2 : 6x²/4 =

f) 2y/x : 10x/3y=

g) 2a / 3x² : 5a² / 9xy =

h) 3a /4m² : 9m²/16a =

POTENCIAÇÃO

Elevamos o numerador e o denominador à potência indicada.

Exemplos:

Vamos calcular as potências:

1) (3x²/5am³)² = (3x²)² / (5am³)² = 9x⁴/25a²m⁶

2) (4a/x-3)² = (4a)²/(x-3)² = 16a²/x²-6x+9 

EXERCICIOS

1) Calcule as Potências:

a) (a/5m)² =

b) (7x/a)² =

c) (3x/a²)² =

d) (2a³/3x²)³ =

e) (2a²/x³)³ =

f) (6c²/5)² =